仔细研究一下题目给的条件，实际上在描述一个生成杨图的过程：如果我们按照编号 1,2,…,nm/31, 2, \dots, nm/3 的顺序逐块放入网格，任何时刻已经放置的部分都必须是一个合法的杨图（即如果网格中包含了某个点，就必定包含它正左方和正上方所有的点）。

由于我们每次加入的都是一个大小为 33 的连通块，并且加完后依然是合法的杨图，这就要求每一次加上的块必须是一个合法的 Skew Shape。在大小为 33 的骨牌中，能够成为合法斜杨图的只有 44 种（恰好是不会包含 2×22 \times 2 矩形的连通块）：水平的 1×31\times 3 长条、垂直的 3×13\times 1 长条以及两种特定的 L 形（▛ 和 ▟）。其他形状无法在此约束下生成。

因此题目等价于求形状为 n×mn \times m 的矩形杨图的 33-条带杨表的数量。

根据 Stanton-White 定理，对于任意一个形状为 λ\lambda 的杨图，如果它的 kk-core 为空，那么它的 kk-条带杨表数量就等价于其 kk-quotient 所对应的标准杨表数量。

对于矩形 n×mn \times m，只要满足 3∣nm3 \mid nm，由于 33 是质数，必然有 3∣n3 \mid n 或 3∣m3 \mid m。已知如果某边长能被 kk 整除，则该矩形的 kk-corn 必定为空，所以此前提必定成立（若 nmnm 不能被 33 整除则显然方案数为 0）。

一个经典的结论是，其 kk-quotient 对应的所有标准杨表数可以通过将原图中 kk 的倍数的钩长除以 kk 后套用钩长公式计算。

因此，3-条带杨表的数量恰好等于：

(nm/3)!∏x∈λ, 3∣h(x)(h(x)/3) \frac{(nm/3)!}{\prod_{x \in \lambda,\ 3 \mid h(x)} (h(x)/3)}

其中 h(x)h(x) 表示格子 xx 在 n×mn \times m 网格中的钩长。对于坐标 (i,j)(i, j) （1≤i≤n,1≤j≤m1 \le i \le n, 1 \le j \le m），其钩长为 v=n+m+1−i−jv = n + m + 1 - i - j。

在 n×mn \times m 的矩形中，我们不需要逐个遍历格子去算钩长。钩长 vv 的取值范围在 11 到 n+m−1n+m-1 之间。很容易发现，钩长等于 vv 的格子数目为：

f(v)=min⁡({v,n,m,n+m−v}) f(v) = \min(\{v, n, m, n+m-v\})

所以分母部分，只需遍历所有 33 的倍数的 vv，并乘上 (v/3)f(v)(v/3)^{f(v)} 即可。

时间复杂度 O(n+m)O(n+m)